证明三角形重心判定定义

三角形的重心是三角形三条边的中线的交点，三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等。下面小阅给大家带来证明三角形重心判定定义，希望能帮助到大家!owy阅下文库

证明三角形重心判定定义owy阅下文库

1、重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍。owy阅下文库

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。owy阅下文库

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。owy阅下文库

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3，(Y1+Y2+Y3)/3。owy阅下文库

推论：由性质1可知GA+GB+GC=0owy阅下文库

向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF,owy阅下文库

根据三角形加法法则：向量AO=AB+BOowy阅下文库

=a+ xBF=a+ x(AF-AB)owy阅下文库

= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b.owy阅下文库

向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,owy阅下文库

根据三角形加法法则：向量AO=AC+COowy阅下文库

=b+ yCD=b+y(AD-AC)owy阅下文库

= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.owy阅下文库

所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b.owy阅下文库

则1-x= y/2， x/2=1-y，owy阅下文库

解得x=2/3,y=2/3.owy阅下文库

证明三角形重心判定定理owy阅下文库

中线定理，又称重心定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。owy阅下文库

三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边的平方的一半加上这条中线的平方的2倍。owy阅下文库

在△ABC中，AI为BC边上的中线。求证：AB?+AC?=1/2(BC)?+2AI?owy阅下文库

以BC的中点I为原点，直线BC为x轴，射线IC方向为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系。设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(-a，0)，则C点坐标为(a，0)。owy阅下文库

过A点做AD⊥x轴交x轴于点D，AE⊥y轴交y轴于点E，则D(m，0)，E(0，n)。owy阅下文库

由勾股定理可得owy阅下文库

AO?=m?+n?,owy阅下文库

中线定理的证明owy阅下文库

中线定理的证明owy阅下文库

AB?=(a-m)?+n?=a?-2am+m?+n?,owy阅下文库

AC?=(a+m)?+n?=a?+2am+m?+n?.owy阅下文库

∴AB?+AC?=a?+2am+m?+n?+a?-2am+m?+n?owy阅下文库

=2a?+2m?+2n?=2a?+2(m?+n?)owy阅下文库

又∵AO?=m?+n?,owy阅下文库

∴AB?+AC?=2a?+2AO?owy阅下文库

又∵B(-a，0)，C(a，0),owy阅下文库

∴a=BCowy阅下文库

∴a?=BC?owy阅下文库

∴2a?=2·BC?=BC?owy阅下文库

∴AB?+AC?=BC?+2AO?=BC?+2AI?。owy阅下文库

证明三角形重心判定性质owy阅下文库

1、三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等。owy阅下文库

2、三角形的重心也是它的中点三角形的重心。owy阅下文库

证明：过E作EH∥BF交AC于H。owy阅下文库

∵AE=BE，EH//BFowy阅下文库

∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)owy阅下文库

又∵ AF=CFowy阅下文库

∴HF=1/2CFowy阅下文库

∴HF:CF=1/2owy阅下文库

∵EH∥BFowy阅下文库

∴EG:CG=HF:CF=1/2owy阅下文库

∴EG=1/2CGowy阅下文库

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